【題目】如圖,ABCADC都是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形,點(diǎn)E、F同時(shí)分別從點(diǎn)B、A出發(fā),各自沿BA、AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、D停止,運(yùn)動(dòng)的速度相同,連接EC、FC

1)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠ECF的大小是否隨之變化?請(qǐng)說(shuō)明理由;

2)在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以點(diǎn)A、EC、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)連接EF,在圖中找出和∠ACE相等的所有角,并說(shuō)明理由.

【答案】1)∠ECF不變?yōu)?/span>60°.理由見(jiàn)解析;(2)不變化.理由見(jiàn)解析;(3)∠ACE=FCD=AFE.理由見(jiàn)解析.

【解析】

1)根據(jù)SAS證明△BCE≌△ACF,得到∠ECB=FCA,從而證明結(jié)論;

2)結(jié)合(1)中證明的全等三角形,即可發(fā)現(xiàn)以點(diǎn)A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積即為△ABC的面積;

3)根據(jù)等邊三角形的判定可以證明△ECF是等邊三角形,再進(jìn)一步根據(jù)平角定義,得到∠AFE+DFC=120°,則∠AFE=FCD,從而求解.

解:(1)∠ECF不變?yōu)?/span>60°

理由如下:

∵△ABC和△ADC都是邊長(zhǎng)相等的等邊三角形,

BC=AC=CD,∠B=DAC=60°,

又∵EF兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間、速度相等,

BE=AF,

∴△BCE≌△ACFSAS),

∴∠ECB=FCA

所以∠ECF=FCA+ACE=ECB+ACE=BCA=60°

2)不變化.理由如下:

∵四邊形AECF的面積=AFC的面積+AEC的面積,△BCE≌△ACF

∴△AEC的面積+BEC的面積=ABC的面積;

3)證明:由(1)知CE=CF,∠ECF=60°,

∴△CEF為等邊三角形,

∵∠FCD+DFC=120°,∠AFE+DFC=120°

∴∠ECF-ACF=ACD-ACF,即∠AFE=FCD

所以∠ACE=FCD=AFE

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了對(duì)學(xué)生進(jìn)行革命傳統(tǒng)教育,紅旗中學(xué)開(kāi)展了“清明節(jié)祭掃”活動(dòng).全校學(xué)生從學(xué)校同時(shí)出發(fā),步行米到達(dá)烈士紀(jì)念館.學(xué)校要求九班提前到達(dá)目的地,做好活動(dòng)的準(zhǔn)備工作.行走過(guò)程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的倍,結(jié)果比其他班提前分鐘到達(dá).分別求九(1)班、其他班步行的平均速度.

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【題目】如圖,在△ABC中,分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的角平分線(xiàn),且兩條角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)E

(1)填空:①如圖1,若∠B=60°,則∠E=   ;

②如圖2,若∠B=90°,則∠E=   ;

(2)如圖3,若∠B=α,求∠E的度數(shù);

(3)如圖4,仿照(2)中的方法,在(2)的條件下分別作∠EAB與∠ECB的角平分線(xiàn),且兩條角平分線(xiàn)交于點(diǎn)G,求∠G的度數(shù).

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【題目】一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,另外有一個(gè)可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤(pán),被分成面積相等的3個(gè)扇形區(qū)域,分別標(biāo)有數(shù)字1,23(如圖所示).

1)從口袋中摸出一個(gè)小球,所摸球上的數(shù)字大于2的概率為 ;

2)小龍和小東想通過(guò)游戲來(lái)決定誰(shuí)代表學(xué)校參加歌詠比賽,游戲規(guī)則為:一人從口袋中摸出一個(gè)小球,另一人轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán),如果所摸球上的數(shù)字與圓盤(pán)上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于5,那么小龍去;否則小東去.你認(rèn)為游戲公平嗎?請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B坐標(biāo)為(-2,1).

1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出將四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后的四邊形ABCD,并直接寫(xiě)出點(diǎn)A、BC、D的坐標(biāo);

2)求四邊形ABCD的面積.

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【題目】某校為了調(diào)查學(xué)生書(shū)寫(xiě)漢字的能力,從八年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽選了50名學(xué)生參加測(cè)試,這50名學(xué)生同時(shí)聽(tīng)寫(xiě)50個(gè)常用漢字,若每正確聽(tīng)寫(xiě)出一個(gè)漢字得1分,根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制出不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖如圖表:

頻數(shù)分布表

組別

成績(jī)x

頻數(shù)(人數(shù))

1

25x30

4

2

30x35

8

3

35x40

16

4

40x45

a

5

45x50

10

請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題:

(1)求表中a的值;

(2)請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

(3)若測(cè)試成績(jī)不低于40分為優(yōu)秀,請(qǐng)你估計(jì)該校八年級(jí)漢字書(shū)寫(xiě)優(yōu)秀的人數(shù)?

(4)第一組中的A、B、C、D 四名同學(xué)為提高漢字書(shū)寫(xiě)能力,分成兩組,每組兩人進(jìn)行對(duì)抗練習(xí),請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,求AB名同學(xué)能分在同一組的概率.

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【題目】閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:

如圖1,ABC中,∠A=90°,B=30°,點(diǎn)D,E分別在AB,BC上,且∠CDE=90°.當(dāng)BE=2AD時(shí),圖1中是否存在與CD相等的線(xiàn)段?若存在,請(qǐng)找出并加以證明,若不存在,說(shuō)明理由.

小明通過(guò)探究發(fā)現(xiàn),過(guò)點(diǎn)EAB的垂線(xiàn)EF,垂足為F,能得到一對(duì)全等三角形(如圖2),從而將解決問(wèn)題.

請(qǐng)回答:

(1)小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線(xiàn)段是_____

(2)證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;

參考小明思考問(wèn)題的方法,解決下面的問(wèn)題:

3)如圖3,ABC中,AB=AC,BAC=90°,點(diǎn)DBC上,BD=2DC,點(diǎn)EAD上,且∠BEC=135°,求的值.

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【題目】如圖,四邊形ABCD中,FCD上一點(diǎn),EBF上一點(diǎn),連接AE、ACDE.若AB=ACAD=AE,∠BAC=DAE=70°,AE平分∠BAC,則下列結(jié)論中:①ABE≌△ACD:②BE=EF;③∠BFD=110°;④AC垂直平分DE,正確的個(gè)數(shù)有( 。

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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【題目】某公司招聘人才,對(duì)應(yīng)聘者分別進(jìn)行閱讀能力、專(zhuān)業(yè)知識(shí)、表達(dá)能力三項(xiàng)測(cè)試,并將三項(xiàng)測(cè)試得分按352的比例確定每人的最終成績(jī),現(xiàn)欲從甲乙兩選手中錄取一人,已知兩人的各項(xiàng)測(cè)試得分如下表(單位:分)

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專(zhuān)業(yè)

表達(dá)

93

86

73

95

81

79

①請(qǐng)通過(guò)相關(guān)的計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)將被錄用?

②請(qǐng)對(duì)落選者今后的應(yīng)聘提些合理的建議.

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