Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AD，BC的延長線交于點E，F(xiàn)是BD延長線上任意一點，若AB=AC．
（1）求證：DE平分∠CDF．
（2）求證：AB²=AD•AE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得出∠FDE=∠EDC，進(jìn)而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ADC∽△ACE，則

AD

AC

=

AC

AE

，進(jìn)而得出答案．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠EDC=∠ABC，
∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠FDE，
∴∠FDE=∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠EDC，
即DE平分∠CDF；

（2）∵∠EDC+∠ADC=180°，∠ECA+∠ACB=180°，∠ACB=∠EDC，
∴∠ADC=∠ACE，
又∵∠BAC=∠CAD，
∴△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD×AE，
∵AB=AC，
∴AB²=AD•AE．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，得出∠FDE=∠ACB=∠ABC是解題關(guān)鍵．