Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD=BC，∠ADC=45°，將腰AD繞A點逆時針旋轉90°，得到AE，連接BE、DE、AC、BD．求證：四邊形ACBE是平行四邊形．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質,平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：由等腰梯形的性質可知：AC=BD，由旋轉的性質可知：AE=AD，∠EAD=90°，進而證明：∠BAE=∠BAD，由此可證明△ABE≌△ABD，所以BE=BD，所以四邊形ACBE是平行四邊形．

解答：證明：∵等腰梯形ABCD，AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD，
∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BAD=135°，
∵腰AD繞A點逆時針旋轉90°得到AE，
∴AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠BAE=360°-∠BAD-∠EAD=135°，
∴∠BAE=∠BAD，
∵AB=AB，
在△ABE和△ABD中，

AE=AD ∠BAE=∠BAD AB=AB

，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=DB，
∴BE=AC，
∵AE=BC，
∴四邊形ACBE是平行四邊形．

點評：本題考查了等腰梯形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，題目的綜合性較強，難度中等．