Question

如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于E點，點D是BC邊的中點，連接DE．
（1）請判斷DE與⊙O是怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．
（2）若⊙O的半徑為4，DE=3，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先作輔助線：連接OE，BE，由AB是⊙O的直徑，即可證得∠AEB=90°，又由點D是BC邊的中點，即可證得DE=BD，則得∠3=∠4，由∠1=∠2，∠1+∠4=90°，即可證得：DE⊥OE，則可得DE是⊙O的切線；
（2）首先證得△AEO∽△EBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，利用方程思想求解即可求得AE的長．
解答：解：（1）相切．
證明：連接OE，BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∴在Rt△BEC中，點D是BC邊的中點，
∴DE=BD=CD=BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，OB=OE，
∴∠1=∠2，∠1+∠4=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠AEO+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠AEO=∠3，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵∠3=∠4，
∴∠AEO=∠4，
∴△AEO∽△EBD，
∴，
設(shè)AE=x，則BE==，
∴，
∴x=6.4．
∴AE=6.4．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓的切線的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意圓中的常見輔助線的作法．