Question

在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．
（1）如圖①，當(dāng)EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG=AG+BG；
（2）如圖②，當(dāng)EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，易證得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可證得△AGH是等邊三角形，繼而證得結(jié)論；
（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，易證得△ABG≌△AEH，繼而可得△AGH是等腰直角三角形，則可求得答案．

解答：（1）證明：如圖①，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH．
在△ABG和△AEH中，

∠GAB=∠HAE AB=AE ∠ABG=∠AEH

，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等邊三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；

（2）EG=

2

AG-BG．
如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H．
∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴

2

AG=HG．
∴EG=

2

AG-BG．

點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．