Question

如圖，等邊△ABC和等邊△BDE有公共頂點(diǎn)B，∠CBE=α（60°＜α≤180°），連結(jié)CE，M、N、P、Q分別是AB、BD、CE、CB的中點(diǎn)，連結(jié)MN、N P、PM、PQ、MQ．
（1）∠MQP的度數(shù)用α的代數(shù)式表示為

 

；
（2）求證：△MNB≌△MPQ；
（3）猜想△MNP的形狀，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由三角形中位線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠PQB和∠MQB的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出及三角形中位線的性質(zhì)就可以就可以得出PQ=NB，MQ=MB，∠PQM=∠NBM就可以得出結(jié)論；
（3）由△MNB≌△MPQ就可以得出MP=MN，∠QMP=∠BMN，就可以得出∠QMB=∠PMN=60°而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵△ABC和△BDE是等邊三角形，
∴∠ABC=∠DBE=∠ACB=∠A=60°，AB=BC=AC，BD=DE=BE．
∵M(jìn)、N、P、Q分別是AB、BD、CE、CB的中點(diǎn)，
∴PQ是△BCE的中位線，MQ是△ABC的中位線，BM=

1

2

AB，BN=

1

2

BD，
∴PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，MQ∥AC，MQ=

1

2

AC，
∴MQ=MB，PQ=NB，∠MQB=∠ACB=60°，∠QMB=∠A=60°，∠PQB+∠CBE=180°．
∵∠CBE=α，
∴∠PQB=180°-α．
∴∠PQM=180°-α+60°=240°-α．
故答案為：240°-α；
（2）∵∠ABC+∠CBE+∠DBE+∠MBN=360°，
∴∠MBN=240°-α，
∴∠MBN=∠MQP．
在△MNB和△MPQ中，

NB=PQ ∠MBN=∠MQP MB=MQ

，
∴△MNB≌△MPQ（SAS）；
（3）△MNP是等邊三角形．
理由：∵△MNB≌△MPQ，
∴MN=MP，∠NMB=∠QMP．
∴∠PMB+∠PNQ=∠PMB+∠BMN，
∴∠QMB=∠PMN=60°．
∴△MNP為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．