Question

設(shè)邊長(zhǎng)為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對(duì)邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、O間距離為d．

（1）如圖①，當(dāng)r＜a時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r
d=a+r
a-r＜d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，當(dāng)r＜a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)；
（2）如圖②，當(dāng)r=a時(shí)，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)填入下表：

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，當(dāng)r=a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有

 

個(gè)；
（3）如圖③，當(dāng)⊙O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明r=

5

4

a．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)r＜a時(shí)，⊙A的直徑小于正方形的邊長(zhǎng)，⊙A與正方形中垂直于直線l的一邊相離、相切、相交，三種情況，故可確定⊙O與正方形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）當(dāng)r=a時(shí)，⊙O的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)⊙A與正方形相離，與正方形一邊相切，相交，與正方形四邊相切，四種情況，故可確定⊙O與正方形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）如圖③，當(dāng)⊙O與正方形有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，連接OC，用a、r表示△COF的各邊長(zhǎng)，在Rt△OCF中，由勾股定理求a、r的關(guān)系．

解答：
解：（1）如圖①

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，當(dāng)r＜a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有0、1、2個(gè)；

（2）如圖②

d、a、r之間關(guān)系	公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，當(dāng)r=a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、4個(gè)；

（3）如圖③所示，連接OC．
則OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF²+FC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²，
5a²=4ar，
5a=4r；

（4）①當(dāng)a＜r＜

5

4

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、4、6、7、8個(gè)；
②當(dāng)r=

5

4

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、5、8個(gè)；
③當(dāng)

5

4

a＜r＜

2

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4、6、8個(gè)；
④當(dāng)r=

2

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4個(gè)；
⑤當(dāng)r＞

2

a時(shí)，⊙O與正方形的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2、3、4個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系．關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓的三種位置關(guān)系，r與a的大小關(guān)系，分類討論．