Question

【題目】一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：

如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE．

理清思路，本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據(jù)上述思路，請你完成下列問題．

（1）若BP平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

（2）若點(diǎn)P是一個動點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動到OC的中點(diǎn)P′時，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動到點(diǎn)D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系,并證明得出的關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD′=AP′，理由見解析.

【解析】

（1）先求出∠3＝∠4，再求出∠ABP＝∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；

（2）設(shè)OP＝CP＝x，求出AP＝3x，CD＝x，即可得出答案．

（1）證明：

∵PB＝PD，

∴∠2＝∠PBD，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠C＝45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1＝45°，

∴∠1＝∠C＝45°，

∵∠3＝∠PBC∠1，∠4＝∠2∠C，

∴∠3＝∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD．

（2）解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′．

理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，

則AP=2x+x=3x，

由△OBP≌△EPD，得BO=PE，

PE=2x，CE=2x﹣x=x，

∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，

∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，

即AP=3x，CD=x，

∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=AP′