Question

【題目】如圖，矩形中，為中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與，交于點(diǎn)，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，．若，，則下列結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④四邊形是菱形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

通過證△AEO≌CFO可判斷①；利用矩形的性質(zhì)證△OCB是正三角形，可得②；因OB≠M(fèi)B，得到③錯(cuò)誤；通過證△EOB≌△FCB得到EB=FB，從而證④．

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB∥DC,AO=OC

∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO

∴△AEO≌CFO(AAS)

∴AE=FC，①正確

∵四邊形ABCD是矩形

∴OC=OB

∵∠BOC=60°

∴△OCB是正三角形，∴OB=OC

∵FO=FC

∴FB是線段OC的垂直平分線，②正確

∵BM⊥OC，∴△OMB是直角三角形，∴OB＞BM

∴是錯(cuò)誤的，即③錯(cuò)誤

∵四邊形ABCD是矩形

∴EB∥DF，AB=DC

∵AE=FC

∴EB=DF

∴四邊形EBFD是平行四邊形

∵△AEO≌△CFO，OF=FC，∴AE=EO=OF=FC

∵△OBC是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO，BC=BO

∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°

∴∠FOB=30°+60°=90°

∴∠EOB=90°=∠FCB

∴△EOB≌△FCB(SAS)

∴EB=FB

∴平行四邊形EBFD是菱形，④正確

故選：C