Question

已知關(guān)于x的方程x²-（m+5）x+3（m+2）=0．
（1）求證：無論m取何實數(shù)值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）如果Rt△ABC的斜邊長為5，兩條直角邊長恰好是這個方程的兩個根．求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）要證明方程總有兩個實數(shù)根只要證明方程的判別式是非負(fù)數(shù)即可求解；
（2）設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b，首先利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于a、b的方程組，然后利用勾股定理也可以的關(guān)于a、b的方程，聯(lián)立解之即可求解．

解答：（1）證明：∵△=（m+5）²-12（m+2）（1分）
=m²+10m+25-12m-24=m²-2m+1=（m-1）²≥0，（1分）
∴此方程總有兩個實數(shù)根．（1分）

（2）解：設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b．
根據(jù)題意，得

a+b=m+5 ab=3(m+2) a2+b2=52

（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+5）²-6（m+2）=m²+4m+13=25．
∴m²+4m-12=0．（1分）
解得m₁=2，m₂=-6（不符合題意，舍去）．（1分）
∴ab=12．（1分）
∴S_△ABC=

1

2

ab=6．（1分）

點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，首先利用判別式解決第一問，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可解決問題．