已知關(guān)于x的方程x2-(m+5)x+3(m+2)=0.
(1)求證:無論m取何實數(shù)值,方程總有兩個實數(shù)根;
(2)如果Rt△ABC的斜邊長為5,兩條直角邊長恰好是這個方程的兩個根.求△ABC的面積.
分析:(1)要證明方程總有兩個實數(shù)根只要證明方程的判別式是非負(fù)數(shù)即可求解;
(2)設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b,首先利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于a、b的方程組,然后利用勾股定理也可以的關(guān)于a、b的方程,聯(lián)立解之即可求解.
解答:(1)證明:∵△=(m+5)
2-12(m+2)(1分)
=m
2+10m+25-12m-24=m
2-2m+1=(m-1)
2≥0,(1分)
∴此方程總有兩個實數(shù)根.(1分)
(2)解:設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b.
根據(jù)題意,得
(1分)
∴a
2+b
2=(a+b)
2-2ab=(m+5)
2-6(m+2)=m
2+4m+13=25.
∴m
2+4m-12=0.(1分)
解得m
1=2,m
2=-6(不符合題意,舍去).(1分)
∴ab=12.(1分)
∴S
△ABC=
ab=6.(1分)
點評:此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,首先利用判別式解決第一問,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理得到關(guān)于a、b的方程組,然后解方程組即可解決問題.