Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．平行于對(duì)角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是：_________，點(diǎn)C的坐標(biāo)是：__________；

（2）設(shè)△OMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探求（2）中得到的函數(shù)S有沒(méi)有最大值？若有，求出最大值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（4，0）、（0，3）

 （2）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，OM=t．

 由△OMN∽△OAC，得，

∴　ON＝，S=×OM×ON=．

當(dāng)4＜t＜8時(shí)，如圖，

∵ OD=t，∴ AD= t-4．

    由△DAM∽△AOC，可得AM=．

而△OND的高是3．

S=△OND的面積-△OMD的面積

=×t×3-×t×　　　　　

=． 　　　　

(3) 有最大值．

方法一：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，

∵ 拋物線S=的開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸t=0的右邊， S隨t的增大而增大，

∴ 當(dāng)t=4時(shí)，S可取到最大值=6；

當(dāng)4＜t＜8時(shí)，

∵ 拋物線S=的開(kāi)口向下，它的頂點(diǎn)是（4，6），

∴ S＜6．

綜上，當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值6．

方法二：∵ S= 

∴ 當(dāng)0＜t＜8時(shí)，畫(huà)出S與t的函數(shù)關(guān)系圖像，如圖所示．

   

    顯然，當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值6.

【解析】（1）根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出A、C的坐標(biāo)；

（2）本問(wèn)要分類(lèi)進(jìn)行討論：

①當(dāng)直線m在AC下方或與AC重合時(shí)，即當(dāng)0＜t≤4時(shí)，根據(jù)平行得到兩對(duì)同位角的相等可證△OMN∽△OAC，用兩三角形的相似比求出面積比，即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)直線m在AC上方時(shí)，即當(dāng)4＜t＜8時(shí)，由平行得到一對(duì)同位角相等，再由一對(duì)直角的相等得到△DAM∽△AOC，根據(jù)相似得比例，由OD，AD表示出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BM的長(zhǎng)，再由MN∥AC，得到兩對(duì)同位角的相等，從而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的長(zhǎng)，從而得到CN的長(zhǎng)，然后分別表示出各個(gè)三角形的面積，可用矩形OABC的面積-三角形BMN的面積-三角形OCN的面積-三角形OAM的面積來(lái)求得

（3）根據(jù)（2）得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出面積S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．