Question

（1）如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥AB，DF交AC于點(diǎn)E，DE=EF．求證：E是AC的中點(diǎn)．
（2）如圖，已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADF=∠F，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CE，從而得證；
（2）先求出四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義以及平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠ADF=∠FAD，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AF=FD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證．

解答：（1）證明：∵FC∥AB，
∴∠ADF=∠F，
在△ADE和△CEF中，

∠ADF=∠F DE=EF ∠AED=∠CEF

，
∴△ADE≌△CEF（ASA），
∴AE=CE，
即E是AC的中點(diǎn)；

（2）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，且∠EAD=∠ADF，
又∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴AF=FD，
∴四邊形AEDF是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，主要涉及鄰邊相等的平行四邊形是菱形，熟練掌握平行四邊形與菱形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．