Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．

(1)當(dāng)α＝60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，

①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②連接CF，當(dāng)CE²－CF²取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值．

分析　(1)利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解；

(2)①連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF＝GF，再根據(jù)AB、BC的長(zhǎng)度可得AG＝AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，從而得解；

②設(shè)BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE²，表示出EG的長(zhǎng)度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG²，從而得到CF²，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

Answer 1

解　(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sin α＝，

即sin 60°＝＝，解得CE＝5 ；

(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.

理由如下：連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示，∵F為AD的中點(diǎn)，

∴AF＝FD，

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，

，

∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，

∵CE⊥AB，

∴EF＝GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，∴∠AEF＝∠G，

∵AB＝5，BC＝10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，

∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，

∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，

在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋ ∠G＝2∠AEF，

又∵∠CFD＝∠AFG(對(duì)頂角相等)，

∴∠CFD＝∠AEF，

∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，

因此，存在正整數(shù)k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；

②設(shè)BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，

∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，

在Rt△BCE中，CE²＝BC²－BE²＝100－x²，

在Rt△CEG中，CG²＝EG²＋CE²＝(10－x)²＋100－x²＝200－20x，

∵CF＝GF(①中已證)，

∴CF²＝＝CG²＝(200－20x)＝50－5x，

∴CE²－CF²＝100－x²－50＋5x

＝－x²＋5x＋50＝－＋50＋，

∴當(dāng)x＝，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，

CE²－CF²取最大值，

此時(shí)，EG＝10－x＝10－＝，

CE＝ ＝ ＝，

所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝.