Question

如圖N2­12，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－3x－3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E.求ME長(zhǎng)的最大值；

(3)試探究當(dāng)ME取最大值時(shí)，在拋物線上、x軸下方是否存在點(diǎn)P，使以M，F，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，－3x－3＝0，x＝－1，∴A(－1, 0)．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3，∴C(0，－3)．

∵拋物線過A，C兩點(diǎn)，

拋物線的解析式是y＝x²－2x－3.

當(dāng)y＝0時(shí)， x²－2x－3＝0，解得 x₁＝－1，x₂＝3.

∴ B(3, 0)．

(2)由(1)知 B(3, 0) , C(0，－3)，

直線BC的解析式是y＝x－3.

設(shè)M(x，x－3)(0≤x≤3)，則E(x，x²－2x－3)

∴ME＝(x－3)－( x²－2x－3)＝－x²＋3x＝－²＋.

∴當(dāng)x＝時(shí)，ME的最大值為.

(3)不存在．由(2)知 ME 取最大值時(shí)，

ME＝，

∴MF＝，BF＝OB－OF＝.

設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以P，M，F，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM.

∴P₁或 P₂.

當(dāng)P₁時(shí)，由(1)知y＝x²－2x－3＝－3≠－，∴P₁不在拋物線上．

當(dāng)P₂時(shí)，由(1)知y＝x²－2x－3＝0≠－，

∴P₂不在拋物線上．

綜上所述：在拋物線上x軸下方不存在點(diǎn)P，使以P，M，F，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形