Question

如圖，矩形ABCD的長與寬分別是2cm和1cm，AB在直線L上．依次以B，C′，D″為中心將矩形ABCD按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，這樣點A走過的曲線依次為

AA′

，

A′A″

，

A″A″′

，其中

AA′

交CD于點P．
（1）求矩形A′BC′D′的對角線A′C′的長；
（2）求

AA′

的長；
（3）求圖中部分的面積．
（4）求圖中部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由于旋轉(zhuǎn)得到的兩個圖形全等，求出矩形ABCD的對角線就是矩形A′BC′D′的對角線，利用勾股定理求解即可；
（2）直接利用弧長公式計算就可以了，圓心角是90°；
（3）連接A″C′，就會得到一個以半徑A′C′的扇形，利用面積割補，可看出陰影部分面積就等于扇形面積．
（4）連接BP，利用所給的矩形的邊長，可得∠CPB的正弦值，故可求∠CPB，再利用平行可得到∠APB的度數(shù)，而陰影面積就等于扇形ABP與Rt△BPC的面積之和．因此可求得所求的面積．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)得A′C′=AC=

AB2+AD2

=

22+12

=

5

（cm）．

（2）

AA′

的長為

90π×2

180

=π（cm）．

（3）連接A″C′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，△A′D′C′≌△A″D″C′，
故所求的面積S=S_{扇形C′A′A′′}=

90π×(A′C′)2

360

=

1

4

π×（

5

）²=

5

4

π（cm²）．

（4）連接BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=BA=2．
∴∠BPC=30°，CP=

3

，
∴∠ABP=30°，
∴T=S_扇形ABP+S_△PBC=

30π×22

360

+

1

2

×1×

3

=

π

3

+

3

2

（cm²）．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，弧長、扇形公式計算，反三角函數(shù)等知識．有一定難度．