如圖,△ABC中,AD是邊BC上的中線,過點A作AE∥BC,過點D作DE∥AB,DE與AC、AE分別交于點O、點E,連結(jié)EC.

(1)求證:AD=EC;

(2)當(dāng)∠BAC=Rt∠時,求證:四邊形ADCE是菱形;

答案:
解析:

  (1)解法1

  證明:∵DE∥AB,AE∥BC,

  ∴四邊形ABDE是平行四邊形,

  ∴AE∥BD,且AE=BD

  又∵AD是BC邊上的中線,

  ∴BD=CD

  ∴AE∥CD,且AE=CD

  ∴四邊形ADCE是平行四邊形

  ∴AD=CE

  解法2

  證明:∵DE∥AB,AE∥BC

  ∴四邊形ABDE是平行四邊形,∠B=∠EDC

  ∴AB=DE

  又∵AD是BC邊上的中線

  ∴BD=CD

  ∴△ABD≌△EDC(SAS)

  ∴AD=EC

  (2)解法1

  證明:∵∠BAC=Rt∠,AD上斜邊BC上的中線,

  ∴AD=BD=CD

  又∵四邊形ADCE是平行四邊形

  ∴四邊形ADCE是菱形

  解法2

  證明:∵DE∥AB,∠BAC=Rt∠,

  ∴DE⊥AC

  又∵四邊形ADCE是平行四邊形

  ∴四邊形ADCE是菱形

  解法3

  證明:∵∠BAC=Rt∠,AD是斜邊BC上的中線,

  ∴AD=BD=CD

  又∵AD=EC

  ∴AD=CD=CE=AE

  ∴四邊形ADCE是菱形

  (3)解法1

  解:∵四邊形ADCE是菱形

  ∴AO=CO,∠ADO=90°,

  又∵BD=CD

  ∴OD是△ABC的中位線,則

  ∵AB=AO

  ∴

  ∴在Rt△AOD中,

  解法2

  解:∵四邊形ADCE是菱形

  ∴AO=CO=,AD=CD,∠AOD=90°,

  ∵AB=AO

  ∴AB=

  ∴在Rt△ABC中,

  ∵AD=CD,

  ∴∠DAC=∠DCA

  ∴


練習(xí)冊系列答案
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