Question

如圖為某游樂場電車軌道的一部分ABC的圖象，AB為線段，BC為反比例函數(shù)y=

k

x

的一部分，已知A（10，1）、B（8，2）、C（2，y_c）．過軌道圖象上一點分別作x、y軸垂線才能固定軌道，若垂線段的和（用S表示）取最小值的點稱為最佳支撐點．
（1）求直線AB的解析表示式及k值．
（2）求軌道圖象最佳支撐點的坐標．

Answer 1

（1）設過A、B的直線為y=kx+b．
將A（10，1）、B（8，2）代入，
得

10k+b=1 8k+b=2

，
解得

k=- 1 2 b=6

，
∴y=-

1

2

x+6；
∵反比例函數(shù)y=

k

x

經過點B（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）分兩種情況：
①設P（x，-

1

2

x+6）是線段AB上任意一點，則8≤x≤10，P到x、y軸距離分別為-

1

2

x+6，x，
∴S=-

1

2

x+6+x=

1

2

x+6，
∵

1

2

＞0，∴S隨自變量x的增大而增大，
∴當x=8時，S取最小值，此時S=

1

2

×8+6=10；
②設P（x，

16

x

）是曲線BC上任意一點，則2≤x≤8，P到x、y軸距離分別為

16

x

，x，
∴S=

16

x

+x=（

x

-

4

x

）²+8≥8，
∴當

x

-

4

x

=0，即x=4時，S取最小值，此時S=8．
∵10＞8，
∴最佳支撐點為（4，4）．