Question

（2012•營(yíng)口二模）已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．  
（1）如圖①，現(xiàn)將△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一點(diǎn)F，將△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射線PE、PG重合，試問FG與CE的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說明理由；
（2）在（1）中，如圖②，連接FC，取FC的中點(diǎn)H，連接GH、EH，請(qǐng)你探索線段GH和線段EH的大小關(guān)系，并說明你的理由；
（3）如圖③，分別在AD、BC上取點(diǎn)F、C′，使得∠APF=∠BPC′，與（1）中的操作相類似，即將△PAF沿PF翻折得到△PFG，并將△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，連接FC′，取FC′的中點(diǎn)H，連接GH、EH，試問（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到∠G=∠GEC=90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證明兩條直線平行；
（2）延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，結(jié)合（1）中的結(jié)論證明△GFH≌△MHC，再運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行證明結(jié)論；
（3）取PF的中點(diǎn)M，PC'的中點(diǎn)N，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理得到平行四邊形，這幾個(gè)平行四邊形的性質(zhì)證明要證明的兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等，從而證明結(jié)論．
解答：解：（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由題意得
∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°
∴∠GEC=90°
∴∠G=∠GEC
∴FG∥CE．

（2）GH=EH．
延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，由（1）得，F(xiàn)G∥CE
∴∠GFH=∠MCH
∵H為CF的中點(diǎn)
∴FH=CH
又∵∠GHF=∠MHC
∴△GFH≌△MHC
∴GH=HM=，
∵∠GEC=90°
∴EH=
∴GH=EH．
 

（3）（2）中的結(jié)論還成立．
取PF的中點(diǎn)M，PC'的中點(diǎn)N，連接GM，EN，HM，HN，
∵∠FGP=90°，M為PF的中點(diǎn)
∴，，HM∥PC'
∴GM=PM
∴∠GPF=∠MGP
∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF
∵H為FC'的中點(diǎn)，M為PF的中點(diǎn)
∴
同理，，HN∥PF，∠ENC'=2∠EPC'
∴GM=HN，HM=EN
∵∠GPF=∠FPA，∠EPC'=∠BPC'
又∵∠BPC'=∠APF，
∴∠GPF=∠EPC'
∴∠GMF=∠ENC'，
∵HM∥PC'，HN∥PF
∴四邊形HMPN為平行四邊形
∴∠HMF=∠HNC'
∴∠GMH=∠HNE
∵GM=HN，HM=EN
∴△GMH≌△HNE
∴GH=HE．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查圖形變換的性質(zhì)，邏輯推理能力以及探究能力．會(huì)熟練運(yùn)用全等的性質(zhì)和中位線定理解題是基本的數(shù)學(xué)能力．