Question

【題目】(1)（探究）如圖,在等邊△ABC中,AB=4cm,點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)N為邊AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B′恰好落在等邊△ABC的邊上，求BN的長(zhǎng)．

(2)（拓展）如圖，在△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC邊上的中線,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,且sin∠DAB= ,DB=3.求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】探究1或2.；拓展7.

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時(shí)，于是得到MN⊥AB，BN=BN′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到=AC=BC，∠ABC=60°，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BN=BM=1，如圖2，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時(shí)，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．

（2）由∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，可知△BED是等腰直角三角形，由此可求得BE的長(zhǎng)度，再由sin∠DAB=，可求得AD與AE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)度．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B′恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時(shí)，

則MN⊥AB,BN=BN′，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC,∠ABC=60°，

∵點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，

∴BM=BC=AB=2，

∴BN=BM=1，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B′恰好落在等邊三角形ABC的邊A，C上時(shí)，

則MN⊥BB′,四邊形BMB′N是菱形，

∵∠ABC=60°，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，

∴BN=BM=BC=AB=2，

故答案為：1或2.

（2）∵∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E

∴△BED是等腰直角三角形，

∴BE=ED=DB=3，

∵sin∠DAB=，

∴，

∴AD=5，

∴由勾股定理可求得：AE=4，

∴AB=AE+BE=7.