Question

如圖，AB是半圓的直徑，C是半圓弧上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，
（1）若tan∠BCD=

1

2

，AB=10，求CD的長；
（2）若AB=8，BD=2，設(shè)兩弓形的面積（圖中陰影部分）為S₁和S₂，求S₁-S₂．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計算,圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等和勾股定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出CD的長；
（2）根據(jù)扇形的面積公式求出S₁和S₂，再相減即可．

解答：解：（1）∵∠B+∠CAD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴tan∠CAB=tan∠BCD=

1

2

，
∴AC=2BC，
∴BC²+（2BC）²=AB²，
∴BC²+（2BC）²=100，
∴BC²=20，
∵BD=

1

2

CD，
∴BD²+CD²=BC²，
∴（

1

2

CD）²+CD²=10²，
∴CD=4

5

．
（2）方法一：∵OA=OB，
∴△AOC與△BOC的面積相等，
∴S₁-S₂=

120

360

×π×4²-

60

360

×π×4²=

16

3

π-

8

3

π=

8

3

π；
方法二：S₁=

120

360

×π×4²-

1

2

×4×2

3

=

16

3

π-4

3

，
S₂=

60

360

×π×4²-

1

2

×4×2

3

=

8

3

π-4

3

，
∴S₁-S₂=

16

3

π-

8

3

π=

8

3

π．

點(diǎn)評：本題考查了扇形面積的計算，根據(jù)圖形特點(diǎn)，找到公式適用的條件是解題的關(guān)鍵．