Question

如圖1，已知四邊形ABCD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).如果∠PAD=∠PBC，那么我們稱點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn). 如圖2，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6.

（1）若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，4）、D（6，4），當(dāng)四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為                  ；

（2）若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、D（6，4），當(dāng)四邊形ABCD關(guān)于A、B的角點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、D（10，4），點(diǎn)P（x，y）為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，其中x＞2，y＞0，求y與x之間的關(guān)系式.

 

Answer 1

【答案】

（1）（6，2）；（2）(6，)；（3）y=2x或．

【解析】

試題分析：（1）畫(huà)出點(diǎn)A、D坐標(biāo)，根據(jù)四邊形ABCD是矩形可得點(diǎn)P在CD的中點(diǎn)處，寫(xiě)出相應(yīng)坐標(biāo)即可；（2）易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6，利用△PAD∽△PBC可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；（3）可分點(diǎn)P在直線AD的上方，或下方兩種情況進(jìn)行探討：當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)可得相關(guān)代數(shù)式；當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)，利用（2）中的相似可得相關(guān)代數(shù)式．

試題解析：（1）（6，2）．

（2）依題意可得∠D=∠BCD=90°，∠PAD=∠PBC，AD=4，CD=4，BC=6．

∴△PAD∽△PBC. ∴.

∵PD+PC=CD=4，∴PC＝．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，).

（3）根據(jù)題意可知，不存在點(diǎn)P在直線AD上的情況；

當(dāng)點(diǎn)P不在直線AD上時(shí)，分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，此時(shí)有y=2x.

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥x軸，分別交直線AD、BC于M、N兩點(diǎn)，

與（2）同理可得△PAM∽△PBN，PM+PN=4，

由點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），可知M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（x，4）、N（x，0）．

∴．可得，即，即．∴．

綜上所述，當(dāng)x＞2，y＞0時(shí)，y與x之間的關(guān)系式為y=2x或．

考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.新定義；3. 坐標(biāo)與圖形的對(duì)稱變化；4.相似三角形的應(yīng)用；5.數(shù)形結(jié)合和分類思想的應(yīng)用．