Question

如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE與BD交于F，連接AF并延長交BC于H，過F作FG⊥BC于G．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=65°，求∠HFG的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律探索∠ABC、∠ACB與∠HFG之間的關(guān)系；
（3）試探究∠BFH與∠CFG的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出角BAC，求出∠BAH，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AHG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理球出錯(cuò)即可；
（2）求出角BAC度數(shù)，求出∠BAH度數(shù)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠AHG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理球出錯(cuò)即可；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BFH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出角CFG，即可得出答案．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴AH平分∠BAC，
∵∠ABC=45°，∠ACB=65°，
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°，
∠BAH=

1

2

∠BAC=35°，
∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=45°+35°=80°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGH=90°，
∴∠HFG=90°-80°=10°；

（2）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴AH平分∠BAC，
∵∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB），
∠BAH=

1

2

∠BAC=90°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=∠ABC+90°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°+

1

2

（∠ABC-∠ACB），
∵FG⊥BC，
∴∠FGH=90°，
∴∠HFG=90°-[90°+

1

2

（∠ABC-∠ACB）]=

1

2

∠ACB-

1

2

∠ABC；

（3）∠BFH=∠CFG，
理由是：∵∠BFH=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）+

1

2

∠ABC=90°-

1

2

∠ACB；
∠CFG=180°-90°-

1

2

∠ACB=90°-

1

2

∠ACB，
∴∠BFH=∠CFG

點(diǎn)評：本題考查了角平分線定義，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．