Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線(xiàn)CAB以2厘米/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)．問(wèn)：
（1）經(jīng)過(guò)多少秒后，PQ平分△ABC的面積；
（2）經(jīng)過(guò)多少秒后，△CPQ為直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：（1）可設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，PQ平分△ABC的面積，根據(jù)速度×?xí)r間=路程和三角函數(shù)分別表示出△CPQ中PC邊和PC邊高的長(zhǎng)度，再分兩種情況：Q在AC邊；Q在AB邊；根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）可設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后，△CPQ為直角三角形，根據(jù)速度×?xí)r間=路程分別表示出△CPQ中PC邊和QC邊，再根據(jù)三角函數(shù)分兩種情況：∠PQC=90°；∠QPC=90°；即可求解．

解答：解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，
∴AC=

62+82

=10厘米．
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，PQ平分△ABC的面積，依題意有
Q在AC邊：

1

2

（8-x）×（

1

2

×2x）=

1

2

×

1

2

×8×6，
化簡(jiǎn)得x²-8x+24=0，
∵△=8²-4×24=-32＜0，
∴方程無(wú)解；
Q在AB邊：

1

2

（8-x）×（6+10-2x）=

1

2

×

1

2

×8×6，
解得x₁=8+2

3

（不合題意舍去），x₂=8-2

3

（不合題意舍去）．

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后，△CPQ為直角三角形，依題意有
當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，

3

2

×（8-y）=2y，解得y=

32 3 -24

13

；
當(dāng)∠QPC=90°時(shí)，8-y=

3

2

×2y，解得y=4（

3

-1）．
綜上所述，經(jīng)過(guò)

32 3 -24

13

秒或4（

3

-1）秒后，△CPQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積公式的運(yùn)用，列一元二次方程解設(shè)計(jì)問(wèn)題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的面積公式建立方程是關(guān)鍵．