Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作交AB于點F，連接DB交于點H，E是BC上的一點，且，連接DE．

（1）求證：DE是的切線．

（2）若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的半徑為．

【解析】

（1）如圖1，連接DF，先根據菱形的性質和SAS證明△DAF≌△DCE，得，再由AD是圓的直徑得∠AFD=90°，于是∠DEC=90°，然后利用可得∠ADE=90°，問題即得證明；

（2）如圖2，連接AH，先根據等腰三角形三線合一的性質得出，再由DF是和的公共的直角邊，根據勾股定理列出關于AD的方程，解方程即可求出AD的長，進一步即可求出圓的半徑.

（1）證明：如圖1，連接DF，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴，，，

∵，∴，即，

∴≌，∴.

∵AD是的直徑，∴，∴.

∵，∴，∴.

∵OD是的半徑，∴DE是的切線；

（2）解：如圖2，連接AH，

∵AD是的直徑，∴，∴，

∵，，∴，

在和中，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴的半徑為．