Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的兩邊與坐標(biāo)軸重合，且OB=4，AO=3，若AD=3DC，以D為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)原點(diǎn)．點(diǎn)M、N為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在圖1中，若點(diǎn)M在線段OB上從點(diǎn)O向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在線段BA上從點(diǎn)B向點(diǎn)A以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△BMN為直角三角形？

（3）在圖2中，過(guò)點(diǎn)M做y軸的平行線，分別交拋物線和線段OD于P、G兩點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，△ODP的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）當(dāng)t=或t=時(shí)，△BMN為直角三角形；（3）當(dāng)t=時(shí)，△OPD的面積最大，最大值為

【解析】分析：（1）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)式求出拋物線的解析式；

（2）分∠NMB=90°時(shí)，△AOB∽△NMB和當(dāng)∠MNB=90°時(shí)，得到△AOB∽△MNB兩種情況進(jìn)行討論，求出t的值即可；

（3）首先求出直線OD的解析式，再用t表示出PG的長(zhǎng)，用t表示出△OPD的面積，進(jìn)而求出最大值．

詳解：（1）由題意，知AC=4，AD=3CD，得D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣3）2+3，

將點(diǎn)O坐標(biāo)代入即可求出a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x；

（2）依題意得，OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵OM=t，故得BM=（4﹣t），BN=2t，

①當(dāng)∠NMB=90°時(shí)，得到△AOB∽△NMB，

得到=，得=，解得t=；

②當(dāng)∠MNB=90°時(shí)，得到△AOB∽△MNB，

得=，得=，解得t=，

∴當(dāng)t=或t=時(shí)，△BMN為直角三角形；

（3）∵O（0，0），D（3，3），

∴設(shè)直線OD的解析式為y=kx，則3k=3，k=1，

故直線OD的解析式為y=x，

∵OM=t，故xM=xG=xF=t，

∴yP=﹣t2+2t，yG=t，

∴PG=﹣t2+t，

∴S△OPD=ADFG=﹣t2+t，

∴S△OPD=（t﹣）2+（0＜t＜），

∴當(dāng)t=時(shí)，△OPD的面積最大，最大值為．