Question

如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線PA、PB交于點P，下列結論：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°；
③若點M、N分別為點P在BE、BF上的正投影，則AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC．
其中正確的是

1. A.
   只有①②③
2. B.
   只有①③④
3. C.
   只有②③④
4. D.
   只有①③

Answer 1

B
分析：過點P分別作AB、BC、AC的垂線段，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可以證明點P到AC、BC的垂線段相等，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可證明①正確；
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可以證明②錯誤；
根據(jù)①的結論先證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明③正確；
利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和利用△ABC與△PBC寫出關系式整理即可得到④正確．
解答：解：如圖，過點P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分別為M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴點P在∠ACF的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上），
故本小題正確；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明顯∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC=180°錯誤，
故本小題錯誤；
③在Rt△APM與Rt△APD中，，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，
故本小題正確；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，
故本小題正確．
綜上所述，①③④正確．
故選B．
點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，有一定綜合性，但難度不大，只要仔細分析便不難求解．