Question

對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

（1）分別判斷函數(shù)y＝（x＞0）和y＝x＋1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

（2）若函數(shù)y＝﹣x＋1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；

（3）將函數(shù)y＝x²（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當m在什么范圍時，滿足≤t≤1？　

Answer 1

（2）∵函數(shù)y＝﹣x＋1的圖象是y隨x的增大而減小，

∴當x＝a時，y＝﹣a＋1，

又邊界值為2，∴﹣a＋1＝2，解得a＝﹣1，

當x＝b時，y＝﹣b＋1，則﹣2≤﹣b＋1≤2，

又b＞a，a＝﹣1，

∴解得﹣1＜b≤3.

（3）若m＞1，函數(shù)向下平移m個單位后，x＝0時，函數(shù)值小于﹣1，

此時函數(shù)的邊界值t≥1，這與題意不符，∴m≤1.

當x＝﹣1時，y＝1，即過點（﹣1，1），

當x＝0時，y_最小＝0，即過點（0，0），

都向下平移m個單位，則對應(yīng)點的坐標為（﹣1，1－m），（0，﹣m），

由邊界值定義可得≤1－m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，

∴解得0≤m≤或≤m≤1.