【題目】如圖1,OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片,O為原點,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
(1)在OC邊上取一點D,將紙片沿AD翻折,使點O落在BC邊上的點E處,求D,E兩點的坐標;
(2)如圖2,若AE上有一動點P(不與A,E重合)自A點沿AE方向E點勻速運動,運動的速度為每秒1個單位長度,設(shè)運動的時間為t秒(0<t<5),過P點作ED的平行線交AD于點M,過點M作AE平行線交DE于點N.求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)t取何值時,s有最大值,最大值是多少?
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t為何值時,以A,M,E為頂點的三角形為等腰三角形,并求出相應(yīng)的時刻點M的坐標?
【答案】(1)D(0,2.5),E(2,4);(2)S =﹣0.5t2+2.5t,當(dāng)t=2.5時,S矩形PMNE有最大值;(3)t=2.5或t=2時,以A,M,E為頂點的三角形為等腰三角形,M點的坐標為(2.5,1.25)或(5﹣2,).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:AE=OA,OD=DE,那么可在直角三角形ABE中,用勾股定理求出BE的長,進而可求出CE的長,也就得出了E點的坐標.在直角三角形CDE中,CE長已經(jīng)求出,CD=OC-OD=4-OD,DE=OD,用勾股定理即可求出OD的長,也就求出了D點的坐標.
(2)很顯然四邊形PMNE是個矩形,可用時間t表示出AP,PE的長,然后根據(jù)相似三角形APM和AED求出PM的長,進而可根據(jù)矩形的面積公式得出S,t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值.
(3)本題要分兩種情況進行討論:
①ME=MA時,此時MP為三角形ADE的中位線,那么AP=,據(jù)此可求出t的值,過M作MF⊥OA于F,那么MF也是三角形AOD的中位線,M點的橫坐標為A點橫坐標的一半,縱坐標為D點縱坐標的一半.由此可求出M的坐標.
②當(dāng)MA=AE時,先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長,然后根據(jù)相似三角形AMP和ADE來求出AP,MP的長,也就能求出t的值.根據(jù)折疊的性質(zhì),此時AF=AP,MF=MP,也就求出了M的坐標.
試題解析:
(1)依題意可知,折痕AD是四邊形OAED的對稱軸,
∴在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4.
BE==3.
∴CE=2.
∴E點坐標為(2,4).
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
又∵DE=OD.
∴(4﹣OD)2+22=OD2.
解得:OD=2.5.
∴D點坐標為(0,2.5).
(2)如圖②∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴,
又知AP=t,ED=2.5,AE=5,PM=0.5t×2.5=0.5t,
又∵PE=5﹣t.
而顯然四邊形PMNE為矩形.
S矩形PMNE=PMPE=0.5t×(5﹣t)=﹣0.5t2+2.5t;
∴S四邊形PMNE=﹣0.5(t﹣2.5)2+ ,
又∵0<2.5<5.
∴當(dāng)t=2.5時,S矩形PMNE有最大值.
(3)(i)若以AE為等腰三角形的底,則ME=MA(如圖①)
在Rt△AED中,ME=MA,
∵PM⊥AE,
∴P為AE的中點,
∴t=AP=0.5AE=2.5.
又∵PM∥ED,
∴M為AD的中點.
過點M作MF⊥OA,垂足為F,則MF是△OAD的中位線,
∴MF=0.5OD=1.25,OF=0.5OA=2.5,
∴當(dāng)t=2.5時,(0<2.5<5),△AME為等腰三角形.
此時M點坐標為(2.5,1.25).
(ii)若以AE為等腰三角形的腰,則AM=AE=5(如圖②)
在Rt△AOD中,AD===.
過點M作MF⊥OA,垂足為F.
∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴.
∴t=AP== = ,
∴PM=t=.
∴MF=MP=,OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2,
∴當(dāng)t=2時,(0<2<5),此時M點坐標為(5﹣2, ).
綜合(i)(ii)可知,t=2.5或t=2時,以A,M,E為頂點的三角形為等腰三角形,
相應(yīng)M點的坐標為(2.5,1.25)或(5﹣2, ).
點睛:本題主要考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,圖形的翻折變換,相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點,綜合性較強.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖5—18所示,在ΔABC中,AD平分∠BAC,且與BC相交于點D,∠B=40°,∠BAD=30°,則∠C的度數(shù)是 ( )
A.70°
B.80°
C.100°
D.110°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的個數(shù)有( )
①在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行;
②在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行;
③在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交;
④在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】從全校1200名學(xué)生中隨機選取一部分學(xué)生進行調(diào)查,調(diào)查情況:A、上網(wǎng)時間≤1小時;B、1小時<上網(wǎng)時間≤4小時;C、4小時<上網(wǎng)時間≤7小時;D、上網(wǎng)時間>7小時.統(tǒng)計結(jié)果制成了如圖統(tǒng)計圖:
(1)參加調(diào)查的學(xué)生有人;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補全;
(3)請估計全校上網(wǎng)不超過7小時的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,取BC邊中點E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四邊形EDAF,它的面積記作S1;取BE中點E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,得到四邊形E1D1FF1,它的面積記作S2,照此規(guī)律作下去,則S1=_______,S2017=____________.
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【題目】如圖,點A從原點出發(fā)沿數(shù)軸向左運動,同時,點B也從原點出發(fā)沿數(shù)軸向右運動,3秒后,兩點相距15個單位長度。已知點B的速度是點A的速度的4倍(速度單位:單位長度/秒).
(1)求出點A、點B運動的速度,并在數(shù)軸上標出A、B兩點從原點出發(fā)運動3秒時的位置;
(2)若A、B兩點從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時沿數(shù)軸向左運動,幾秒時,原點恰好處在點A、點B的正中間?
(3)若A、B兩點從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時沿數(shù)軸向左運動時,另一點C同時從B點位置出發(fā)向A點運動,當(dāng)遇到A點后,立即返回向B點運動,遇到B點后又立即返回向A點運動,如此往返,直到B點追上A點時,C點立即停止運動.若點C一直以20單位長度/秒的速度勻速運動,那么點C從開始運動到停止運動,行駛的路程是多少個單位長度?
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,P是線段AD上的動點,PE⊥AC于點E,PF⊥BD于點F,則PE+PF的值為( 。
A.2
B.4
C.4
D.2
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【題目】如圖,邊長分別為3和5的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起,連結(jié)BD并延長交EG于點T,交FG于點P,則ET的長為
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【題目】今年豬肉受非洲豬瘟疫情的影響,一個月內(nèi)豬肉價格兩次大幅上漲.由原來每斤9元上漲到每斤16元,求平均每次上漲的百分率是多少?設(shè)平均每次上漲的百分率為x,則根據(jù)題意可列方程為_____.
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