【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于C(0,﹣2).

(1)求拋物線的解析式;
(2)H是C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),P是拋物線上的一點(diǎn),當(dāng)△PBH與△AOC相似時(shí),求符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)(求出兩點(diǎn)即可);
(3)過點(diǎn)C作CD∥AB,CD交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M是線段CD上的一動(dòng)點(diǎn),作直線MN與線段AC交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)E,且∠BME=∠BDC,當(dāng)CN的值最大時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0),

∴設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x﹣4),

把(0,﹣2)代入y=a(x+1)(x﹣4),

∴a= ,

∴拋物線的解析式為:y= x2 x﹣2


(2)

解:當(dāng)△PBH與△AOC相似時(shí),

∴△AOC是直角三角形,

∴△PBH也是直角三角形,

由題意知:H(0,2),

∴OH=2,

∵A(﹣1,0),B(4,0),

∴OA=1,OB=4,

∵∠AOH=∠BOH,

∴△AOH∽△BOH,

∴∠AHO=∠HBO,

∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°,

∴∠AHB=90°,

設(shè)直線AH的解析式為:y=kx+b,

把A(﹣1,0)和H(0,2)代入y=kx+b,

,

∴解得 ,

∴直線AH的解析式為:y=2x+2,

聯(lián)立 ,

解得:x=1或x=﹣8,

當(dāng)x=﹣1時(shí),

y=0,

當(dāng)x=8時(shí),

y=18

∴P的坐標(biāo)為(﹣1,0)或(8,18)


(3)

解:過點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n,0),M的坐標(biāo)為(m,0),

∵∠BME=∠BDC,

∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD,

∴∠EMC=∠MBD,

∵CD∥x軸,

∴D的縱坐標(biāo)為﹣2,

令y=﹣2代入y= x2 x﹣2,

∴x=0或x=3,

∴D(3,﹣2),

∵B(4,0),

∴由勾股定理可求得:BD= ,

∵M(jìn)(m,0),

∴MD=3﹣m,CM=m(0≤m≤3)

∴由拋物線的對(duì)稱性可知:∠NCM=∠BDC,

∴△NCM∽△MDB,

,

,

∴CN= =﹣ (m﹣ 2+

∴當(dāng)m= 時(shí),CN可取得最大值,

∴此時(shí)M的坐標(biāo)為( ,﹣2),

∴MF=2,BF= ,MD=

∴由勾股定理可求得:MB=

∵E(n,0),

∴EB=4﹣n,

∵CD∥x軸,

∴∠NMC=∠BEM,∠EBM=∠BMD,

∴△EMB∽△BDM,

,

∴MB2=MDEB,

= ×(4﹣n),

∴n=﹣ ,

∴E的坐標(biāo)為(﹣ ,0).


【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣4),然后將(0,﹣2)代入解析式即可求出a的值;(2)當(dāng)△PBH與△AOC相似時(shí),△PBH是直角三角形,由 可知∠AHB=90°,所以求出直線AH的解析式后,聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式后即可求出P的坐標(biāo);(3)設(shè)M的坐標(biāo)為(m,0),由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD,所以△NCM∽△MDB,利用對(duì)應(yīng)邊的比相等即可得出CN與m的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m= 時(shí),CN有最大值,然后再證明△EMB∽△BDM,即可求出E的坐標(biāo).本題考查函數(shù)的綜合問題,涉及待定系數(shù)法求解析式,聯(lián)立解析式求交點(diǎn)坐標(biāo),相似三角形判定與性質(zhì),二次函數(shù)最值等知識(shí),內(nèi)容較為綜合,需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)去解決問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算,得出了一種新的運(yùn)算,如表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例:

指數(shù)運(yùn)算

21=2

22=4

23=8

31=3

32=9

33=27

新運(yùn)算

log22=1

log24=2

log28=3

log33=1

log39=2

log327=3

根據(jù)上表規(guī)律,某同學(xué)寫出了三個(gè)式子:①log216=4,②log525=5,③log2 =﹣1.其中正確的是( 。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

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(1)求證:∠B=∠ACD.
(2)已知點(diǎn)E在AB上,且BC2=ABBE.
(i)若tan∠ACD= ,BC=10,求CE的長;
(ii)試判定CD與以A為圓心、AE為半徑的⊙A的位置關(guān)系,并請(qǐng)說明理由.

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解答下面的問題:

1)求過點(diǎn)P1,4)且與已知直線y=-2x1平行的直線的函數(shù)表達(dá)式,并畫出直線l的圖象;

2)設(shè)直線l分別與y軸、x軸交于點(diǎn)AB,如果直線ykxt ( t0)與直線l平行且交x軸于點(diǎn)C,求出△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

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A.( ,﹣1)
B.(1,﹣
C.( ,﹣
D.(﹣ ,

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【題目】在2016年體育中考中,某班一學(xué)習(xí)小組6名學(xué)生的體育成績?nèi)缦卤,則這組學(xué)生的體育成績的眾數(shù),中位數(shù),方差依次為( 。

成績(分)

27

28

30

人數(shù)

2

3

1


A.28,28,1
B.28,27.5,1
C.3,2.5,5
D.3,2,5

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