Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC與Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O為AB的中點．

（1）求證：∠B=∠ACD．
（2）已知點E在AB上，且BC2=ABBE．
（i）若tan∠ACD= ，BC=10，求CE的長；
（ii）試判定CD與以A為圓心、AE為半徑的⊙A的位置關系，并請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ACB=∠DCO=90°，

∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，

即∠ACD=∠OCB，

又∵點O是AB的中點，

∴OC=OB，

∴∠OCB=∠B，

∴∠ACD=∠B

（2）

解：（i）∵BC2=ABBE，

∴ ，

∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△CBE，

∴∠ACB=∠CEB=90°，

∵∠ACD=∠B，

∴tan∠ACD=tan∠B= ，

設BE=4x，CE=3x，

由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，

∴（4x）2+（3x）2=100，

∴解得x=2 ，

∴CE=6 ；

（ii）過點A作AF⊥CD于點F，

∵∠CEB=90°，

∴∠B+∠ECB=90°，

∵∠ACE+∠ECB=90°，

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B，

∴∠ACD=∠ACE，

∴CA平分∠DCE，

∵AF⊥CE，AE⊥CE，

∴AF=AE，

∴直線CD與⊙A相切

【解析】（1）因為∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因為點O是Rt△ACB中斜邊AB的中點，所以OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代換可知∠ACD=∠B；（2）（i）因為BC2=ABBE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因為tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出CE的值；
（ii）過點A作AF⊥CD于點F，易證∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分線，所以AF=AE，所以直線CD與⊙A相切．本題考查圓的綜合問題，涉及等量代換，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，知識點較綜合，需要學生靈活運用所學知識解決問題．