Question

（1）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點，EF∥AB，且EF交BC于點F，某學(xué)生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：
①當(dāng)

DE

AE

=1時，有EF=

a+b

2

；
②當(dāng)

DE

AE

=2時，有EF=

a+2b

3

；
③當(dāng)

DE

AE

=3時，有EF=

a+3b

4

．
當(dāng)

DE

AE

=k時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明；
（2）現(xiàn)有一塊直角梯形田地ABCD（如圖所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要將這塊地分割成兩塊，由兩農(nóng)戶來承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等．請你給出具體分割方案．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構(gòu)建相似三角形來求解．過點E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長線于H．那么四邊形HCGB就是平行四邊形，HC=BG=EF，因此HD=EF-a，AG=b-EF，那么可根據(jù)相似三角形HED和GEA得出的關(guān)于DH，AG，DE，AE的比例關(guān)系式，即可求出所求的比例關(guān)系式；
（2）可按照（1）的思路進行求解．在AD上取一點E，作EF∥AB交BC于點F，可先設(shè)DE：AE=k，那么可用k表示出DE和EF的長．由于被EF平分的兩部分面積相等，因此梯形ABCD的面積=2×梯形DEFC的面積，由此可求出梯形DEFC的面積，然后根據(jù)DE，EF的長，表示出梯形DEFC的面積即可得出關(guān)于k的方程，經(jīng)過解方程即可得出k的值，進而可確定具體的分割方案．

解答：解：（1）猜想得：EF=

a+kb

1+k

，
證明：過點E作BC的平行線交AB于G，交CD的延長線于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴

DH

AG

=

DE

AE

，
又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴

EF-a

b-EF

=k，可得EF=

a+kb

1+k

；

（2）在AD上取一點E，作EF∥AB交BC于點F，
設(shè)

DE

AE

=k，
則EF=

170+310k

1+k

，DE=

70k

1+k

，
若S_梯形DCFE=S_梯形ABFE，則S_梯形ABCD=2S_梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE為直角梯形，
∴

170+310

2

×70=2×

1

2

×（170+

170+310x

1+x

）×

70k

1+k

，
化簡得12k²-7k-12=0解得：k1=

4

3

，k2=-

3

4

（舍去），
∴DE=

70

1+k

=30，
所以只需在AD上取點E，使DE=30米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可將梯形分成兩個直角梯形，且它們的面積相等．

點評：本題考查了梯形中輔助線的常規(guī)作法以及相似三角形的判定等知識點．在梯形中通過作輔助線來構(gòu)建平行四邊形是常用的方法．