Question

【題目】如圖，已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線上有一點(diǎn)P,使ΔABO與ΔADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1，2），；（3）不存在，理由見解析．

【解析】

解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）

∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入得方程組

解得：

∴拋物線的解析式為

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，

若△ABO∽△AP1D，則

∴DP1=AD=4

∴P1

若△ABO∽△ADP2 ，過點(diǎn)P2作P2 M⊥x軸于M，AD=4

∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合

∴P2（1，2）

（3）如圖設(shè)點(diǎn)E，則

①當(dāng)P1(-1,4)時(shí)，

S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE

=

∴∴

∵點(diǎn)E在x軸下方 ∴

代入得：，即

∵△=(-4)2-4×7=-12<0

∴此方程無解

②當(dāng)P2（1，2）時(shí)，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=

∴∴

∵點(diǎn)E在x軸下方 ∴代入得：

即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0

∴此方程無解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E．