Question

（2013•黃石）如圖1所示，已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當(dāng)x=-

1

2

時，y取最大值

25

4

．
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設(shè)點P是直線AC上一點，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求點P的坐標(biāo)；
（3）直線y=

1

2

x+a與（1）中所求的拋物線交于點M、N，兩點，問：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
②猜想當(dāng)∠MON＞90°時，a的取值范圍．（不寫過程，直接寫結(jié)論）
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M、N兩點之間的距離為|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c，當(dāng)x=-

1

2

時，y取最大值

25

4

，得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（-

1

2

，

25

4

），可寫出拋物線的頂點式，再根據(jù)拋物線的解析式求出A、C的坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入
y=kx+m，運用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；
（2）根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實際是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的長，然后分情況討論：
①當(dāng)P在線段AC上時，過點P作PH⊥x軸，點H為垂足．由PH∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出PH的長，進(jìn)而求出P點的坐標(biāo)；
②當(dāng)P在CA的延長線上時，由PG∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出PG的長，進(jìn)而求出P點的坐標(biāo)；
（3）聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，設(shè)直線y=

1

2

x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側(cè)），則x_M、x_N是方程x²+

3

2

x+a-6=0的兩個根，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得，x_M+x_N=-

3

2

，x_M•x_N=a-6，進(jìn)而求出y_M•y_N=

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²．
①由于∠MON=90°，根據(jù)勾股定理得出OM²+ON²=MN²，據(jù)此列出關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根據(jù)勾股定理得出OM²+ON²＜MN²，據(jù)此列出關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c，當(dāng)x=-

1

2

時，y取最大值

25

4

，
∴拋物線的解析式是：y=-（x+

1

2

）²+

25

4

，即y=-x²-x+6；
當(dāng)x=0時，y=6，即C點坐標(biāo)是（0，6），
當(dāng)y=0時，-x²-x+6=0，解得：x=2或-3，
即A點坐標(biāo)是（-3，0），B點坐標(biāo)是（2，0）．
將A（-3，0），C（0，6）代入直線AC的解析式y(tǒng)=kx+m，
得

-3k+m=0 m=6

，
解得：

k=2 m=6

，
則直線的解析式是：y=2x+6；

（2）過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴

1 2 AP•BD

1 2 PC•BD

=

1

3

，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC=

OA2+OC2

=3

5

．
①當(dāng)點P為線段AC上一點時，過點P作PH⊥x軸，點H為垂足．
∵PH∥OC，
∴

PH

OC

=

AP

AC

=

1

4

，
∴PH=

3

2

，
∴

3

2

=2x+6，
∴x=-

9

4

，
∴點P（-

9

4

，

3

2

）；
②當(dāng)點P在CA延長線時，作PG⊥x軸，點G為垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴

PG

OC

=

AP

AC

=

1

2

，
∴PG=3，
∴-3=2x+6，x=-

9

2

，
∴點P（-

9

2

，-3）．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-

9

4

，

3

2

）或（-

9

2

，-3）．

（3）設(shè)直線y=

1

2

x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側(cè)）．
則

x1=xM y1=yN

，

x2=xN y2=yN

為方程組

y= 1 2 x+a y=-x2-x+6

的解，
由方程組消去y整理，得：x²+

3

2

x+a-6=0，
∴x_M、x_N是方程x²+

3

2

x+a-6=0的兩個根，
∴x_M+x_N=-

3

2

，x_M•x_N=a-6，
∴y_M•y_N=（

1

2

x_M+a）（

1

2

x_N+a）=

1

4

x_M•x_N+

a

2

（x_M+x_N）+a²=

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM²+ON²=MN²，即

x

2 M

+

y

2 M

+

x

2 N

+

y

2 N

=（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化簡得x_M•x_N+y_M•y_N=0，
∴（a-6）+

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²=0，
整理，得2a²+a-15=0，
解得a₁=-3，a₂=

5

2

，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值為a=-3或a=

5

2

；
②∵∠MON＞90°，
∴OM²+ON²＜MN²，即

x

2 M

+

y

2 M

+

x

2 N

+

y

2 N

＜（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化簡得x_M•x_N+y_M•y_N＜0，
∴（a-6）+

1

4

（a-6）-

3

4

a+a²＜0，
整理，得2a²+a-15＜0，
解得-3＜a＜

5

2

，
∴當(dāng)∠MON＞90°時，a的取值范圍是-3＜a＜

5

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行線分線段成比例定理，函數(shù)與方程的關(guān)系，勾股定理，鈍角三角形三邊的關(guān)系等知識，綜合性較強，難度較大．運用分類討論、數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．