Question

如圖，在△BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，四邊形ABCD是正方形，連接DF，G為DF的中點，連接EG、CG．證明：EG=CG，EG⊥CG．

Answer 1

分析：取BF中點H，連接EH，GH，連接BD，取BD中點O，連接OG，OC，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出CO=

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2

BD，CO⊥BD，根據(jù)三角形的中位線得出GH∥BD，GH=

1

2

BD，OG∥BF，OG=

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2

BF，推出OC=GH，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出EH=

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2

BF，推出四邊形OBHG是平行四邊形，求出∠GOC=∠EHG，證△GOC≌△EHG，推出EG=CG，∠EGH=∠GCO，求出∠EGC的度數(shù)即可．

解答：證明：取BF中點H，連接EH，GH，連接BD，取BD中點O，連接OG，OC，
∵CB=CD，∠DCB=90°，
∴CO=

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2

BD，
∵DG=GF，
∴GH∥BD，GH=

1

2

BD，
∴OG∥BF，OG=

1

2

BF，
∴OC=GH，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=

1

2

BF，
∴EH=OG，
∴四邊形OBHG是平行四邊形，
∴∠BOG=∠BHG，
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG，
在△GOC和△EHG中
∵

OG=EH ∠GOC=∠EHG OC=GH

，
∴△GOC≌△EHG（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCO，
∴∠EGC=∠EGH+∠HGO+∠CGO，
=∠CGO+∠GCO+∠GOD，
=180°-∠DOC，
=180°-90°，
=90°，
∴EG⊥CE，即EG=CG．EG⊥CG．

點評：本題綜合考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線，正方形性質(zhì)，三角形的中位線等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度較大．