Question

已知：如圖，△ABC中，BD，CE分別平分∠B和∠C，P是DE中點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC，CA，AB的垂線，垂足分別為L(zhǎng)，M，N，求證：PL=PM+PN．

Answer 1

解：過D作DF⊥BC交BC于F，過E作EG⊥BC交BC于G，過D作DH⊥AB交AB于H，過E作EK⊥AC交AC于K．
∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，
∴DF∥PL∥EG，
又∵PD=EP，
∴PL是梯形DEGF的中位線，
∴PL=．
∵點(diǎn)E在∠ACB的平分線上，
∴EG=EK．
∵點(diǎn)D在∠ABC的平分線上，
∴DF=DH．
∴PL=．
∵PM⊥AC、EK⊥AC，
∴PM∥EK，
又∵DP=EP，
∴PM是△DEK的中位線，
∴EK=2PM．
∵PN⊥AB、DH⊥AB，
∴PN∥DH，
又∵DP=EP，
∴PN是△DEH的中位線，
∴DH=2PN．
∵PL=，EK=2PM、DH=2PN，
∴PL=PM+PN．
分析：過D作DF⊥BC交BC于F，過E作EG⊥BC交BC于G，過D作DH⊥AB交AB于H，過E作EK⊥AC交AC于K．
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC，可知DF∥PL∥EG，進(jìn)而可得出PL是梯形DEGF的中位線，所以PL=．由角平分線的性質(zhì)可知EG=EK，DF=DH，同理可得PM是△DEK的中位線，PN是△DEH的中位線，再通過等量代換即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，涉及到三角形、等腰梯形的中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．