Question

如圖所示，直線y=-

3

3

x+

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC交x軸于D，交△ABO的外接圓⊙M于C，已知∠COD=∠OBC．
（1）求證：MC⊥OA；
（2）求直線BC的解析式．

Answer 1

分析：（1）由∠COD=∠OBC，可以得出

OC

=

AC

，再利用垂徑定理就可以直接得出結(jié)論MC⊥OA；
（2）由直線的解析式可以求出OA、OB的值，由（1）的結(jié)論就可以求出OG、GM的值，連接OM求出⊙M的半徑，從而求出GC的值而求出C點的坐標，最后利用待定系數(shù)法就可以求出直線BC的解析式．

解答：（1）證明：∵∠COD=∠OBC，
∴

OC

=

AC

，
∵點M是圓心，
∴由垂徑定理的推論，得
MC⊥OA；

（2）解：∵MC⊥OA，
∴OG=GA=

1

2

OA，
∵點M是圓心，
∴BM=AM，
∴GM是△AOB的中位線，
∴GM=

1

2

OB，
∵y=-

3

3

x+

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴當x=0時，y=

3

，
當y=0時，x=3，
∴B（0，

3

），A（3，0）
∴OB=

3

，OA=3，
∴MG=

3

2

，OG=

3

2

，連接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得
OM=

3

，
∴GC=

3

-

3

2

=

3

2

，
∵點C在第三象限，
∴C（

3

2

，-

3

2

）．
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴

3 =b - 3 2 = 3 2 k+b

解得：

k=- 3 b= 3

，
直線BC的解析式為：y=-

3

x+

3

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了一次函數(shù)的圖象上點的坐標的特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形中位線的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用及圓的相關性質(zhì)的運用．