Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）與y₂=-

4

x

（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標(biāo)分別為
a、b．

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；
（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作邊長為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左上方，那么，對大于或等于4的任意實(shí)數(shù)a，CD邊與函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）的圖象都有交點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）如圖1，AB交y軸于C，由于AB∥x軸，根據(jù)k的幾何意義得到S_△OAC=2，S_△OBC=2，所以S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得A、B的縱坐標(biāo)分別為

4

a

、-

4

b

，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到OA²=a²+（

4

a

）²，OB²=b²+（-

4

b

）²，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到a²+（

4

a

）²=b²+（-

4

b

）²，變形得到（a+b）（a-b）（1-

16

a2b2

）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1-

16

a2b2

=0，易得ab=-4；
（3）由于a≥4，AC=3，則可判斷直線CD在y軸的右側(cè)，直線CD與函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）的圖象一定有交點(diǎn)，設(shè)直線CD與函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）的圖象交點(diǎn)為F，由于A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

4

a

），正方形ACDE的邊長為3，則得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（a-3，

4

a

），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a-3，

4

a-3

），所以FC=

4

a-3

-

4

a

，然后比較FC與3的大小，由于3-FC=3-（

4

a-3

-

4

a

）=

3(a+1)(a-4)

a(a-3)

，而a≥4，所以3-FC≥0，于是可判斷點(diǎn)F在線段DC上．

解答：解：（1）如圖1，AB交y軸于C，
∵AB∥x軸，
∴S_△OAC=

1

2

×|4|=2，S_△OBC=

1

2

×|-4|=2，
∴S_△OAB=S_△OAC+S_△OBC=4；

（2）∵A、B的橫坐標(biāo)分別為a、b，
∴A、B的縱坐標(biāo)分別為

4

a

、-

4

b

，
∴OA²=a²+（

4

a

）²，OB²=b²+（-

4

b

）²，
∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴a²+（

4

a

）²=b²+（-

4

b

）²，
∴a²-b²+（

4

a

）²-（

4

b

）²=0，
∴a²-b²+

16(b2-a2)

a2b2

=0，
∴（a+b）（a-b）（1-

16

a2b2

）=0，
∵a+b≠0，a＞0，b＜0，
∴1-

16

a2b2

=0，
∴ab=-4；

（3）∵a≥4，
而AC=3，
∴直線CD在y軸的右側(cè)，直線CD與函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）的圖象一定有交點(diǎn)，
設(shè)直線CD與函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）的圖象交點(diǎn)為F，如圖2，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

4

a

），正方形ACDE的邊長為3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a-3，

4

a

），
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（a-3，

4

a-3

），
∴FC=

4

a-3

-

4

a

，
∵3-FC=3-（

4

a-3

-

4

a

）=

3(a+1)(a-4)

a(a-3)

，
而a≥4，
∴3-FC≥0，即FC≤3，
∵CD=3，
∴點(diǎn)F在線段DC上，
即對大于或等于4的任意實(shí)數(shù)a，CD邊與函數(shù)y₁=

4

x

（x＞0）的圖象都有交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、圖形與坐標(biāo)和正方形的性質(zhì)；會(huì)利用求差法對代數(shù)式比較大小．