Question

已知拋物線y=x²-（k+2）x+

5k+2

4

和直線y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（3）如果拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，直線AD交直線CE于點(diǎn)G（如圖），且CA•GE=CG•AB，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）由判別式△=（k+2）²-4×1×

5k+2

4

=k²-k+2=（k-

1

2

）²+

7

4

＞0，即可證得無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）由拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，可得x₁•x₂=

5k+2

4

，x₃=-（k+1），繼而可求得答案；
（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，繼而可證得△OAD∽△OBE，則可得

OA

OB

=

OD

OE

，又由拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，可得OA•OB=

5k+2

4

，OD=

5k+2

4

，OE=（k+1）²，繼而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（k+1，0），代入解析式即可求得答案．

解答：（1）證明：∵△=（k+2）²-4×1×

5k+2

4

=k²-k+2=（k-

1

2

）²+

7

4

，
∵（k-

1

2

）²≥0，
∴△＞0，
故無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）解：∵拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=

5k+2

4

，
令0=（k+1）x+（k+1）²，
解得：x=-（k+1），
即x₂=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）•

5k+2

4

=-

5

4

（k+

7

10

）²+

9

80

，
∴x₁•x₂•x₃的最大值為：

9

80

；

（3）解：∵CA•GE=CG•AB，
∴

CA

CB

=

CG

CE

，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴

OA

OB

=

OD

OE

，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，
∴OA•OB=

5k+2

4

，OD=

5k+2

4

，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，
∴

OA

OB

=

OA•OB

OE

，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴點(diǎn)B（k+1，0），
將點(diǎn)B代入拋物線y=x²-（k+2）x+

5k+2

4

得：（k+1）²-（k+2）（k+1）-

5k+2

4

=0，
解得：k=2，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，綜合性很強(qiáng)，難度較大，主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．