Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延長交AB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若

CE

DE

=

2

3

，求cos∠ABC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,切線的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）如圖，連接OC．欲證DE是⊙O的切線，只需證得OC⊥DE；
（2）由

CE

DE

=

2

3

，可設(shè)CE=2k（k＞0），則DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE=

DE2-AD2

=2

2

k．則tan∠E=

AD

AE

=

2

4

．所以在Rt△OCE中，tan∠E=

OC

CE

=

OC

2k

．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD=

AO2+AD2

=

3

2

k，故cos∠ABC=cos∠AOD=

OA

OD

=

3

3

．

解答：（1）證明：如圖，連接OC．
∵AD是過點(diǎn)A的切線，AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，

OC=OA ∠1=∠3 OD=OD

，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于點(diǎn)C．
∵OC是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：由

CE

DE

=

2

3

，可設(shè)CE=2k（k＞0），則DE=3k，
∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE=

DE2-AD2

=2

2

k．
∴tan∠E=

AD

AE

=

2

4

．
∵在Rt△OCE中，tan∠E=

OC

CE

=

OC

2k

．
∴

2

4

=

OC

2k

，
∴OC=OA=

k

2

．
∴在Rt△AOD中，OD=

AO2+AD2

=

3

2

k，
∴cos∠ABC=cos∠AOD=

OA

OD

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．