Question

如圖，△A₁A₂B是直角三角形，∠A₁A₂B=90°，且A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，垂足為A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足為A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足為A₅，A₅A₆⊥A₄B，垂足為A₆，一直按此做去，…則△A_nA_n+1B的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰直角三角形

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的

2

2

倍分別表示出A₂A₃、A₃A₄、A₄A₅、A₅A₆…A_nA_n+1，再根據(jù)等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的

1

2

進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：由題意可知，截出的直角三角形都是等腰直角三角形，
∴A₂A₃=

2

2

A₁A₂，
A₃A₄=

2

2

A₂A₃=（

2

2

）²A₁A₂，
A₄A₅=

2

2

A₃A₄=（

2

2

）³A₁A₂，
A₅A₆=

2

2

A₄A₅=（

2

2

）⁴A₁A₂，
…，
A_nA_n+1=

2

2

A_n-1A_n=（

2

2

）^n-1A₁A₂，=4×（

2

2

）^n-1，
所以，△A_nA_n+1B的面積=

1

2

×[4×（

2

2

）^n-1]²=

1

2

×16×

1

2n-1

=

1

2n-4

．
故答案為：

1

2n-4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟記等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的

2

2

倍并表示出A_nA_n+1的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．