Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的長(zhǎng)OA=

3

，寬OC=1，其中點(diǎn)A、C分別在x、y軸上，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：A點(diǎn)坐標(biāo)為

 

，P點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；
（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=-

4

3

x²+bx+c上，試說(shuō)明點(diǎn)C在此拋物線上；
（3）設(shè)E（0，n）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線y=

3

x+n與第（2）小題中所得的拋物線交于點(diǎn)M、N．
①當(dāng)n＜1，EM和EN的大小如何？為什么？
②當(dāng)n為何值時(shí)，△MCN是以MN為斜邊的直角三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PD以及CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用點(diǎn)P（

3

2

，

3

2

），A（

3

，0）在拋物線上，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出C點(diǎn)是否在拋物線上；
（3）①首先得出MP′=NQ，進(jìn)而得出△MEP′≌△NEQ，即可得出EM=EN；
②設(shè)y=

3

x+n與x軸交于點(diǎn)F，則∠OFE=60°，（即∠OEF=30°），若∠MCN=90°，則CE=EM=NE，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，
∵矩形OABC的長(zhǎng)OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC，
∴A（

3

，0），tan∠CAO=

1

3

=

3

3

，PC=1，
∴∠CAO=30°，
∴∠OCA=60°，∠ACB=30°，
∴∠PCB=60°-30°=30°，
∴PE=

1

2

PC=

1

2

，EC=

1-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴PD=PE+ED=1+

1

2

=

3

2

，
∴P（

3

2

，

3

2

）；
故答案為：（

3

，0），（

3

2

，

3

2

）；

（2）∵點(diǎn)P（

3

2

，

3

2

），A（

3

，0）在拋物線上，
∴

- 4 3 × 3 4 +b× 3 2 +c= 3 2 - 4 3 ×3+b× 3 +c=0

，
解得：

b= 3 c=1

，
∴拋物線解析式為：y=-

4

3

x²+

3

x+1，
已知C點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，1），
∵-

4

3

×0²+

3

×0+1=1，
∴點(diǎn)C在此拋物線上；

（3）①EM=EN，
理由：作MP′⊥y軸，NQ⊥y軸，垂足分別為P′、Q，
由

y=- 4 3 x2+ 3 x+1 y= 3 x+n

，
解得：x=±

3-3n

2

（n＜1），
即|x_M|=|x_N|，
∴MP′=NQ，
∴在△MEP′和△NEQ中

∠MEP′=∠NEQ ∠EP′M=∠EQN MP′=NQ

，
∴△MEP′≌△NEQ（AAS），
∴EM=EN；
②設(shè)y=

3

x+n與x軸交于點(diǎn)F，
則∠OFE=60°，（即∠OEF=30°），
∴ME的長(zhǎng)是MP′的2倍，
即ME=

3-3n

2

×2，
若∠MCN=90°，
則CE=EM=NE，
∴1-n=

3-3n

2

×2，
解得；n₁=1，n₂=-2，
∵n＜1，∴n=-2，
∴當(dāng)n=-2時(shí)，△MCN是以MN為斜邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及直角三角形的性質(zhì)得出EC=ME是解題關(guān)鍵．