Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線m∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線m于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）CE=AD；
（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？（不需要證明）

Answer 1

（1）證明：∵直線m∥AB，
∴∠ECD=∠ADC，
又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD，CD為公共邊，
∴△EDC≌△ADC，
∴CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是菱形．
證明：D是AB中點，DE∥AC（已證）
∴F為BC中點，即BF=CF，
∵直線m∥AB
∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，
∴△BFD≌△CFE，
∴DF=EF，已知DE⊥BC，
所以BC和DE垂直且互相平分，
故四邊形BECD是菱形．

（3）當∠A的大小是45°時，四邊形BECD是正方形．
分析：（1）首先由已知直線m∥AB，可推出∠ECD=∠ADC，再由DE⊥BC，得DE∥AC，推出∠EDC=∠ACD，CD為公共邊，所以推出
△EDC≌△ADC，得證．
（2）首先由D是AB中點和（1）證得DE∥AC，得F為BC中點，即BF=CF，再由已知證△BFD≌△CFE，則DF=EF，已知DE⊥BC，所以BC和DE垂直且互相平分，故得四邊形BECD是菱形．
（3）由四邊形BECD是正方形可推出∠ABC=45°，即得∠A=45°．
點評：此題考查的知識點是正方形、菱形的判定及全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是（1）由已知證△EDC≌△ADC．
（2）先證F是BC中點，再證△BFD≌△CFE，推出BC和DE垂直且互相平分．（3）由四邊形BECD是正方形推出∠A=45°．