Question

如圖，一次函數(shù)y=-

3

2

x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．線段AB的中點P在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求k的值；
（2）若一次函數(shù)y=mx+n的圖象與y=

k

x

的圖象有且只有一個第三象限的公共點Q，且與x軸、y軸分別交于C、D兩點，試判斷AD，BC的位置關系．
（3）求四邊形ABCD的最小面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,根的判別式,平行線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題,配方法

分析：（1）可先求出點A、B的坐標，再求出線段AB的中點P的坐標，然后把點P的坐標代入y=

k

x

就可求出k；
（2）可先求出點C、D的坐標（用m、n的代數(shù)式表示），然后根據(jù)兩個函數(shù)圖象在第三象限只有一個公共點，運用根的判別式可得到n²=-24m，從而可得到OC•OD=24=OA•OB，從而可證到△AOD∽△COB，則有∠ADO=∠CBO，從而可得AD∥BC；
（2）易得S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

（4+

n

m

）（6-n），然后把m=-

n2

24

代入，就可得到S_{四邊形ABCD}與n的關系，然后只需運用配方法即可解決問題．

解答：解：（1）對于一次函數(shù)y=-

3

2

x+6，
當x=0時，y=-

3

2

×0+6=6，則有B（0，6），OB=6；
當y=0時，-

3

2

x+6=0，解得x=4，則有A（4，0），OA=4．
∴線段AB的中點P坐標為（

4+0

2

，

0+6

2

）即（2，3）．
∵P在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=xy=2×3=6，
∴k的值為6；

（2）對于一次函數(shù)y=mx+n，
當x=0時，y=m×0+n=n，則有D（0，n），OD=-n；
當y=0時，mx+n=0，解得x=-

n

m

，則有C（-

n

m

，0），OC=

n

m

．
∵一次函數(shù)y=mx+n的圖象與y=

6

x

的圖象有且只有一個第三象限的公共點Q，
∴方程mx+n=

6

x

即mx²+nx-6=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴n²-4×m×（-6）=n²+24m=0，
∴n²=-24m，
∴OC•OD=

n

m

×（-n）=-

n2

m

=24．
∵OA•OB=4×6=24，
∴OA•OB=OC•OD，
∴

OA

OC

=

OD

OB

．
∵∠AOD=∠COB=90°，
∴△AOD∽△COB，
∴∠ADO=∠CBO，
∴AD∥BC，
∴AD與BC的位置關系是AD∥BC；

（3）S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

AC•OB+

1

2

AC•OD=

1

2

AC•BD
=

1

2

×[4-（-

n

m

）]×[6-n]=

1

2

（4+

n

m

）（6-n）
=

1

2

（24-4n+

6n

m

-

n2

m

）=

1

2

（24-4n+

6n

- n2 24

-

-24m

m

）
=

1

2

（24-4n-

144

n

+24）
=24-2n-

72

n

=24+2[（

-n

）²+（

6

-n

）²]
=24+2[（

-n

-

6

-n

）²+12]
=24+2（

-n

-

6

-n

）²+24
=48+2（

-n

-

6

-n

）²，
∴當

-n

=

6

-n

即n=-6時，S_{四邊形ABCD}取到最小值48．
∴四邊形ABCD的最小面積為48．

點評：本題主要考查了直線與反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、用待定系數(shù)法求k的值、根的判別式、相似三角形的判定與性質、平行線的判定、中點坐標公式等知識，運用根的判別式得到n²=-24m，從而得到OC•OD=OA•OB是解決第（2）小題的關鍵，運用割補法及配方法是解決第（3）小題的關鍵．