Question

在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，如圖①，E是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DE.

1.當(dāng)DE=10時(shí)，求證：DE與圓O相切；

2.求DE的最長(zhǎng)距離和最短距離；

3.如圖②，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)DE =10時(shí)，試求直線DE的解析式.

 

Answer 1

 

1.證明：連結(jié)，由題意得，------------1分

，，為公共邊

∴ 

∴-------------------2分

（利用勾股定理逆定理相應(yīng)給分）

∴

∴與圓相切.-------------------3分

2.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合的位置時(shí)，

為正方形的對(duì)角線，所以此時(shí)最長(zhǎng)，有：

-----------------4分

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段與半圓的交點(diǎn)處時(shí)，最短.

-----------------5分

3.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作GH ⊥軸，分別交，軸于點(diǎn)，，連結(jié).

則四邊形是矩形，且為圓的切線

∴=90°

∴-----------------------9分

又∵

∴∽

∴----------------------10分

設(shè)，則有：，

得：，-----------------------11分

解得：，  即：----------------12分

又直線DE過(guò)點(diǎn)D(10,10),設(shè)直線解析式為，則有：，

解得：，即：

∴當(dāng)時(shí)，直線的解析式為或-----------------------14分

 

以下兩種解法涉及高中知識(shí)，僅供參考：

另解2:

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，DE=DA=10，此時(shí)，直線DE的解析式為y=10；

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，，

設(shè)直線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，10），代入求得

所以直線DE的解析式為

 

另解3:

依題意得:點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,5),設(shè)直線DE的解析式為

由點(diǎn)到直線的距離公式得: ,即    ①

直線DE過(guò)點(diǎn)D(10,10),得    ②

由①②解得：，解得

所以直線DE的解析式為

 解析:略