Question

如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，MN交AC、BD于E、F．
求證：BD•OE=AC•OF．

Answer 1

分析：取AB的中點(diǎn)G，連接GM，GN，根據(jù)中位線定理可以求得GM=

1

2

BD，GN=

1

2

AC，進(jìn)而可以求證△GMN∽△OFE，即可證明BC•OE=AC•OF，即可解題．

解答：解：如圖，取AB的中點(diǎn)G．
連接GM，GN，
∵M(jìn)、N分別為AD，BC中點(diǎn)，
∴GM∥BD，GM=

1

2

BD，GN∥AC，GN=

1

2

AC，
∴∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
∴△GMN∽△OFE，
∴GM：OF=GN：OE，
即

1

2

BD：OF=

1

2

AC：OE，
∴BD•OE=AC•OF．

點(diǎn)評：本題考查了中位線定理，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求證△GMN∽△OFE是解題的關(guān)鍵．