Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，E是⊙O上任意一點（不與A，B重合），且CD切⊙O于點D．
（1）試求∠AED的度數．
（2）若⊙O的半徑為3

2

cm，試求：△ADE面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用平行四邊形的性質以及切線的性質和圓周角定理求出即可；
（2）利用當三角形高度最大時面積最大，求出EF的長即可得出答案．

解答：解：（1）連接DO，DB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD切⊙O于點D．
∴DO⊥DC，
∴∠DBA=45°，
∵∠DBA=∠E，
∴∠E=45°，
當E′點在如圖所示位置，即可得出∠AE′D=180°-45°=135°，
∴∠AED的度數為45 或135；

（2）當∠AED=45°，且E在AD垂直平分線上時，△ADE的面積最大，
∵∠AED=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，
∵⊙O的半徑為3

2

cm，
∴AB=6

2

cm，
∴AD=DB=6，
AF=FO=3，
∴S_△ADE=

1

2

×AD×（FO+EO）=

1

2

×6×（3+3

2

）=（9+9

2

）cm ²．

點評：此題主要考查了切線的性質以及圓周角定理和平行四邊形的性質，根據已知得出E在AD垂直平分線上時，△ADE的面積最大是解題關鍵．