Question

如圖，在?ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且F恰好為DC的中點，DG⊥AE，垂足為G．若DG=1，則AE的長為（　　）

• A、2

  3

• B、4
• C、4

  3

• D、8

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．

解答：解：∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F為DC的中點，
∴DF=CF，
∴AD=DF=

1

2

DC=

1

2

AB=2，
在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG=

3

，
則AF=2AG=2

3

，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E ∠ADF=∠ECF DF=CF

，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
則AE=2AF=4

3

．
故選C．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．