Question

如圖在△ABC中,BE平分∠ABC,∠C=90°，D在AB邊上,以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)E交BC于點(diǎn)F.

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)已知sinA=,⊙O的半徑為4,求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

解:（1）連接OE，

∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.

∵BE是△ABC角平分線,∴∠OBE=∠EBC,  

∴∠OEB=∠EBC, ∴OE∥BC,            

∵∠C=90⁰,∴∠AEO=∠C=90⁰,

∴AC是⊙O切線.  

（2）連接OF．

∵sinA=  ，∴∠A=30°   

∵⊙O的半徑為4，∴AO=2OE=8，∴AE=4

∠AOE=60°，∴AB=12，

∴BC=  AB=6   AC=6 ，

∴CE=AC-AE=2  ．

∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是等邊三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．

∴S_陰影=S_梯形OECF -S_扇形EOF

= （2+4）×2 -

 =6-