【題目】如圖,⊙E的圓心E(3,0),半徑為5,⊙E與y軸相交于A、B兩點(點A在點B的上方),與x軸的正半軸交于點C,直線l的解析式為y= x+4,與x軸相交于點D,以點C為頂點的拋物線過點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)動點P在拋物線上,當(dāng)點P到直線l的距離最小時.求出點P的坐標(biāo)及最小距離.
【答案】
(1)
解:如圖1,連接AE,由已知得:AE=CE=5,OE=3,
在Rt△AOE中,由勾股定理得,OA= = =4,
∵OC⊥AB,
∴由垂徑定理得,OB=OA=4,
OC=OE+CE=3+5=8,
∴A(0,4),B(0,﹣4),C(8,0),
∵拋物線的頂點為C,
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣8)2,
將點B的坐標(biāo)代入上解析的式,得64a=﹣4,故a=﹣ ,
∴y=﹣ (x﹣8)2,
∴y=﹣ x2+x﹣4為所求拋物線的解析式
(2)
解:在直線l的解析式y(tǒng)= x+4中,令y=0,得 x+4=0,解得x=﹣ ,
∴點D的坐標(biāo)為(﹣ ,0),
當(dāng)x=0時,y=4,
∴點A在直線l上,
在Rt△AOE和Rt△DOA中,
∵ = , = ,
∴ = ,
∵∠AOE=∠DOA=90°,
∴△AOE∽△DOA,
∴∠AEO=∠DAO,
∵∠AEO+∠EAO=90°,
∴∠DAO+∠EAO=90°,即∠DAE=90°,因此,直線l與⊙E相切與A
(3)
解:如圖2,過點P作直線l的垂線段PQ,垂足為Q,過點P作直線PM垂直于x軸,交直線l于點M.
設(shè)M(m, m+4),P(m,﹣ m2+m﹣4),則
PM= m+4﹣(﹣ m2+m﹣4)= m2﹣ m+8= (m﹣2)2+ ,
當(dāng)m=2時,PM取得最小值 ,
此時,P(2,﹣ ),
對于△PQM,
∵PM⊥x軸,
∴∠QMP=∠DAO=∠AEO,
又∠PQM=90°,
∴△PQM的三個內(nèi)角固定不變,
∴在動點P運動的過程中,△PQM的三邊的比例關(guān)系不變,
∴當(dāng)PM取得最小值時,PQ也取得最小值,
PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= × = ,
∴當(dāng)拋物線上的動點P的坐標(biāo)為(2,﹣ )時,點P到直線l的距離最小,其最小距離為 .
【解析】(1)連接AE,由已知得:AE=CE=5,OE=3,利用勾股定理求出OA的長,結(jié)合垂徑定理求出OC的長,從而得到C點坐標(biāo),進而得到拋物線的解析式;(2)求出點D的坐標(biāo)為(﹣ ,0),根據(jù)△AOE∽△DOA,求出∠DAE=90°,判斷出直線l與⊙E相切與A.(3)過點P作直線l的垂線段PQ,垂足為Q,過點P作直線PM垂直于x軸,交直線l于點M.設(shè)M(m, m+4),P(m,﹣ m2+m﹣4),得到PM= m+4﹣(﹣ m2+m﹣4)= m2﹣ m+8= (m﹣2)2+ ,根據(jù)△PQM的三個內(nèi)角固定不變,得到PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= × = ,從而得到最小距離.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4). (Ⅰ)請在圖中,畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;
(Ⅱ)以點O為位似中心,將△ABC縮小為原來的 ,得到△A2B2C2 , 請在圖中y軸右側(cè),畫出△A2B2C2 , 并求出∠A2C2B2的正弦值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長為1200米的正方形ABCD,現(xiàn)有1號、2號兩輛游覽車分別從出口A和景點C同時出發(fā),1號車沿A→B→C→D→A路線、2號車沿C→B→A→D→C路線連續(xù)循環(huán)行駛,供游客隨時免費乘車(上、下車的時間忽略不計),兩車速度均為300米/分.
(1)如圖1,設(shè)行駛時間為t分(0≤t≤8)
①1號車、2號車離出口A的路程分別為_____米,_____米;(用含t的代數(shù)式表示)
②當(dāng)兩車相距的路程是600米時,求t的值;
(2)如圖2,游客甲在BC上的一點K(不與點B、C重合)處候車,準(zhǔn)備乘車到出口A,設(shè)CK=x米.
情況一:若他剛好錯過2號車,則他等候并搭乘即將到來的1號車;
情況二:若他剛好錯過1號車,則他等候并搭乘即將到來的2號車.
請判斷游客甲在哪種情況下乘車到出口A用時較多?(含候車時間)
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【題目】如圖,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于點E.若∠C比∠AED小55°,則∠AED的度數(shù)為( )
A. 55° B. 125° C. 135° D. 140°
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【題目】九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關(guān)信息如下表:
售價(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月銷量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知該運動服的進價為每件60元,設(shè)售價為x元.
(1)請用含x的式子表示:①銷售該運動服每件的利潤是 ()元;②月銷量是 ()件;(直接寫出結(jié)果)
(2)設(shè)銷售該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當(dāng)月的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】運用圖形變化的方法研究下列問題:如圖,AB是⊙O的直徑,CD,EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8。則圖中陰影部分的面積是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某市為節(jié)約水資源,制定了新的居民用水收費標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn),用戶每月繳納的水費y(元)與每月用水量x(m3)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若某用戶二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超過25m3),繳納水費79.8元,則該用戶二、三月份的用水量各是多少m3?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將-1、、、2、、……按下面的規(guī)律排列,若規(guī)定(m,n)表示第m排從左至右的第n個數(shù),那么表示(7,2)和(8,4)的數(shù)的積是____________.
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