Question

（2012•益陽）已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．
（1）求證：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；
（3）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB′E′（如圖2），使點E落在CD邊上的點E′處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可證得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；
（2）由正方形ABCD的面積等于3，即可求得此正方形的邊長，由在△BGE與△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可證得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案；
（3）首先由正切函數，求得∠BAE=30°，易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，然后設BF與AE′的交點為H，可證得△BAG≌△HAG，繼而證得結論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，

∠ABE=∠BCF AB=BC ∠BAE=∠CBF

∴△ABE≌△BCF．…（4分）

（2）解：∵正方形面積為3，
∴AB=

3

，…（5分）
在△BGE與△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，…（7分）
∴

S△BGE

S△ABE

=(

BE

AE

)2，
又∵BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4，
∴S_△BGE=

BE2

AE2

×S_△ABE=

1

4

×

3

2

=

3

8

．…（8分）

（3）解：沒有變化． …（9分）
理由：∵AB=

3

，BE=1，
∴tan∠BAE=

1

3

=

3

3

，∠BAE=30°，…（10分）
∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，
設BF與AE′的交點為H，
則∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，
∴△BAG≌△HAG，…（11分）
∴S_{四邊形GHE′B′}=S_△AB′E′-S_△AGH=S_△ABE-S_△ABG=S_△BGE．
∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化．…（12分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．